Ziegenproblem reloaded

Heute vor 25 Jahren wurde das Ziegenproblem einer breiten Öffentlichkeit bekannt und erfuhr eine sehr breite Resonanz, hauptsächlich Ablehnung.
Dass auch nach dieser langen Zeit noch vielen nicht wirklich klar ist, wie das Ganze funktioniert, sieht man am heutigen Beitrag auf heise.de dazu, der nach 7 Stunden schon knapp 900 Kommentare hat. Aber der Reihe nach:

Die Ausgangssituation ist wie folgt:

Es gibt ein Gewinnspiel, bei dem ein Kandidat zwischen einer von drei verschlossenen Türen wählen kann.
Hinter einer Tür verbirgt sich ein Auto, hinter den anderen beiden Türen verbirgt sich eine Ziege.
Der Kandidat wählt eine Tür aus.
Anschliessend öffnet der Moderator eine der beiden verbliebenen Türen und zwar immer eine, hinter der eine Ziege steht.
Der Kandidat hat jetzt die Möglichkeit, sich umzuentscheiden und die andere verschlossene Tür zu wählen.

Sollte er das tun, ist es egal oder sogar schädlich?

Die richtige Antwort lautet, dass er wechseln sollte. Seine Gewinnchancen verdoppeln sich von 33% auf 67%.
Irgendwie scheint die Antwort aber bei vielen Menschen Ablehnung hervorzurufen.

Es gibt unzählige Erklärungen dazu, warum sie trotzdem richtig ist, ab jetzt gibt es eine mehr.

Ich lass‘ jetzt mal die komplette Mathematik aussen vor, bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische (Un-)abhängigkeiten verwirren bloss.

Vermutlich jeder stimmt mit der Aussage überein, dass bei folgendem Spiel die Wahrscheinlichkeit ein Auto zu gewinnen bei 1/3 liegt:
Es gibt 3 Türen, hinter einer ist ein Auto, hinter zweien ist eine Ziege. Entscheide Dich für eine Tür. Spiel fertig. Tür auf.

Um die Spannung zu erhöhen, wird nicht die gewählte Tür zuerst geöffnet, sondern der Moderator öffnet eine der beiden anderen Türen und zwar immer eine, hinter der eine Ziege steht. Applaus für die Ziege und der Moderator öffnet die Tür des Kandidaten. Ändert sich dadurch die Gewinnwahrscheinlichkeit?
Nein, warum auch.

Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass hinter der zuerst gewählten Tür das Auto steht, weiterhin 1/3 beträgt, dann folgt daraus zwangsläufig, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es hinter der anderen (noch verschlossenen) Tür steht, 2/3 beträgt.
Das muss so sein, weil die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass hinter einer der beiden Türen ein Auto steht 1 ist.

4 Gedanken zu „Ziegenproblem reloaded“

    1. Es heißt „Schrödingers Katze“ nicht „Schrödingers Ziege

      Aber wenn man schon damit mal anfängt, Quantenmechanik in das Problem einzuführen, stellt sich die Frage, ob die Ziegen verschränkt sind und falls ja, ob das was an der Gewinnwahrscheinlichkeit ändert 🙂

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